正規分布を考える　後編｜馬場正博の「ご隠居の視点」【寄稿】

標準偏差から新人類を考えてみる

オバマ政権で国家経済会議委員長を務めた、ローレンス・Ｈ・サマーズは天才的な経済学者としても知られています。サマーズは28歳で史上もっとも若いハーバード大学経済学部教授に就任し、その後クリントン政権で財務副長官、さらに財務長官に就任し、退任後ハーバード大学学長となります。

サマーズがハーバード大学学長だった2005年、サマーズは全米経済研究所（NBER）の主催する科学技術者の多様化（Diversifying：通常男女、人種などの多様化を意味します）についての分科会で、5,000人ないし10,000人に一人といったトップレベルの能力を求められる上位25大学の物理学者に女性が少ない理由を説明する仮説を展開しました。

仮説の設定でサマーズは慎重に、女性科学者は男性と比べ本人の意思を含めた家庭環境や社会的条件が不利なことをまず挙げています。これは女性本人のやる気を指摘した以外は穏当なものでしょう。ところがサマーズはその他の理由として、女性は男性より個人の能力のバラツキが小さいため、男女の平均知能は等しくても、極端に優秀な人間の数は男性が女性よりずっと多くなる可能性があるという推察を述べます。

ローレンス・サマーズの仮説

サマーズの言いたかったことは、統計学の世界では平均値の同じ正規分布（この場合は男女それぞれのIQの分布になります）でも標準偏差（σ：シグマ）つまり平均からの乖離の度合いが大きい集団は、分布のはずれの方では、標準偏差の小さな集団との差がずっと大きくなるということです。サマーズの仮説が当たっていれば、有名大学に採用される物理学者のように何千人、何万人に一人の特別に能力の高い人は、男性の方が女性より多くなりますが、同じ理由で極端に能力の劣った人間も男性の方が多くなります。平均は変わらないのですから、サマーズは女性は能力が劣っているということを言おうとしたわけではないのですが、仮説とはいえ、1万人に一人のような天才は男性が女性よりも多いと言ったことは間違いありません。

取りようによっては女性は生物学的に男性より優秀な科学者になる可能性が小さいと言ってしまったのですから、不適切な発言と思われても致し方ないでしょう。サマーズのスピーチを聞いていた女性科学者の一人（MITのナンシー・ホプキンス生物学教授）は気分が悪くなったと、その場を退席してしまいました。

影響はそれだけにとどまりませんでした。ハーバード大学ではサマーズ学長の罷免要求が噴出し、教授会は学長の不信任案をハーバード大学史上初めて可決してしまいます。それが原因と思われますが、サマーズは問題のスピーチの翌年2006年にハーバード学長を辞任します。もっともサマーズ在籍中の2005年に金融商品の取引でハーバード大学が35億ドル以上の損害を出したことが一番の理由かもしれません。サマーズは学長として取引を承認した他、彼自身がハーバード大学資産運用委員会の7人のメンバーの一人でした。

サマーズが指摘したのは、ある集団の性質は平均だけでなく、平均からのバラツキ度合いを示す標準偏差も一緒に考える必要があるということでした。身長、体重、IQのような種々の人間の特性の分布を調べると、多くの形質は平均のところがピークとなる正規分布と呼ばれる、いわゆるベルカーブを描きます（その理由は前回のブログで説明した通りです）。正規分布のカーブの形は平均値と標準偏差の2つで決まります。標準偏差は普通σ（シグマ）と書きますが、平均値をｍとすると、ｍ±σに入る割合は約68%つまり概ね3分の2、ｍ±2σなら約95.5%、ｍ±3σなら99.7%です。逆に言えば、σの範囲から外れる割合は3分の1程度、2σなら4.5%、3σなら0.3%です。σが大きいと平均値から離れたところの割合が小さなσより高くなる。数学的には単純なこの事実も「政治的」には極めて不適切だったわけです。

日本人がオリンピックで勝てない理由

日本人のオリンピック熱は世界的に見てもかなりの方だと思いますが、日本選手のメダル獲得数はなかなか期待通りにいきません。オリンピックには沢山の競技があり、なかには競技人口の非常に少ないもありますが、多くの人気競技は沢山の競技者の中で特別な能力を持った人だけがメダルを獲得することができます。メダルどころかオリンピックに出場するのも各国での競争を勝ち抜かなくてはならず、普通の能力の人が一生懸命努力したくらいでは参加も覚束つきません。

しかし、日本のように一億人以上の人口と経済力、そしてオリンピックへの熱意のある国が大量にメダルを獲得できないのはなぜなのでしょうか。認めなければならないのは体格の差です。スポーツ競技の多くは体の大きな方が有利です。「他の条件はすべて同じなら」という前提では体格の差はかなり決定的です。陸上競技、水泳のように道具の優劣やチームプレーの作戦戦略の影響が少ないものは体格の差は成績に特に大きく関係します。この他バスケットボールやバレーボールのような球技では身長が2メートルの選手を揃えなければ、国際大会で好成績は望めません。

体格が小さいことが不利に働かないのは、体重別の制限がある種目を除けば、ジャンプのように自分の体重を筋力で操る必要のある競技です。これは体重は身長の3乗に比例して増加するのに、筋力は筋肉の断面積つまり2乗でしか増加しないからです。フィギャースケートで日本や韓国の選手が活躍したり、アメリカでアジア系の選手が代表に選らばれるのは、体格が小さいことがむしろ有利になるからだと考えられます。体操競技も同様です。

2008年に行われた北京オリンピックで日本は25個のメダルを獲得しましたが、人口1千6百万人のオランダは16個、人口5百万人のノルウェーは10個を獲得しています。日本が5百万人に1個のメダルを獲得したのに対し、オランダは百万人、ノルウェーは50万人に1個を獲得していることになります。オランダもノルウェーも国民の身長が高いことで有名です。単純な比較は難しいですが、体格の差がメダルの数に関係しているのは確実です。

日本男子の平均身長171㎝に対しオランダやノルウェーでは181㎝程度と10㎝も高いのですが、日本は人口もノルウェーの20倍以上あります。日本男子がすべて成人だと仮定して身長の標準偏差を6.5とすると（身長の標準偏差は6－7程度と言われています。この値は国ごとに違うでしょうが、一応中間を取って6.5とします）181ｃｍ以上の身長のある男性は全体の6%程度の約400万人となります。これに対し、オランダもノルウェーも男性の半分は181ｃｍ以上の身長があるのですが、人口も小さいので、身長181ｃｍ以上の男性はオランダで400万人、ノルウェーでは120万人程度です。人口の多い日本は不利ではないように思えます。

ところが、正規分布のはずれの190㎝以上の人口になると違ってきます。日本では成人男子の0.2%しか190㎝を超える人はいません（これは身長が正規分布に完全にしたがっており、標準偏差が6.5という仮定の下での話です。平均から極端にはずれると、この仮定は必ずしも正確ではなくなってきます）。これに対し、オランダとノルウェーでは8.3%の成人男子が190ｃｍ以上と考えられます。人口換算では、日本では13万人しかいない190ｃｍ以上の男性が、オランダでは67万人、ノルウェーでも21万人いることになります。

オリンピック出場者ましてメダルを獲得するような選手は素質も努力も人並みはずれた人が大部分でしょう。同じような素質、同じような努力でも身長が違えば結果も違ってきます。極限まで能力を絞りだそうとすればするほど身長の差は重要になってきます。190ｃｍ程度の身長が「度外れている」国と「すこし大柄」程度の国では、トップレベルの選手層の厚さが違ってくるのは当然です。人口がさらに日本の10倍もある中国なら平均身長の差を人口で乗り越えることができるかもしれませんが、日本には難しいようです。

知能のオリンピック

IQテストが本当に知能を測定しているかを判断するのは、知能そのものの定義もないので難しい問題です。高いIQなのに「愚か」としか思えない人も沢山いますし、その逆もいくらでもあります。しかし、ここではIQが知能そのものだと仮定して話を進めましょう。

IQを測定すると概ね正規分布になります。この正規分布の平均値は100で標準偏差σは15-16程度です（IQテストにより差があります）。仮に15だとすると、2σ、IQ130以上の人は全体の2.2％です。これが3σの145なら0.14％、4σ160なら0.003％、10万人に3人くらいとなります。ただ、このあたりになると正規分布で計算するのがどこまで正しいか問題になるでしょう。身長なら4σは198cmくらいですが、10万人に3人よりは多いようにも思えます。

ヨーロッパに住むユダヤ人、の平均IQは115程度とも言われています。これくらい平均値が高いとIQ200はともかく、通常のIQの分布での4σ相当であるIQ160くらい、つまりサマーズが数学や理論物理学で優れた研究者になれるのに必要と見做したようなIQの持ち主は0.13％程度いることになります。ユダヤ人の人口を千万人とすると1万3千人、人口が1億人いてもIQ100が平均なら、IQ160以上の持ち主は3千人しかいないので、ノーベル賞の受賞者にユダヤ人が多いのも頷けるかもしれません。

IQが正規分布にどこまでもしたがって、いくとするとIQ200以上の人は千億人に1人程度になります。地球上の人類の人口は60億人程度ですから、IQ200の人は実際には存在しないと考えるのが妥当でしょう。しかし、もしIQ130くらいが平均となるような秀才集団がいれば、IQ200の超天才も百万人に1人くらいは生まれる確率になります。ユダヤ人をはるかに超えるような秀才集団は新人類の苗床になるのでしょうか。そうとは言えないかもしれません。

前回のブログ記事でご説明したように、身長やIQが正規分布にしたがうのは、それらの形質が沢山の遺伝的、環境的要素の集合だからです。非常に極端な数字が出る、例えば4σの範囲になるというのは、コインを15回投げて続けて表が出る、つまり色々な要素が知能をあるいは身長を高くするように揃うということを意味しています。しかし、突然変異で今では存在しなかったような形質が現れるとすると話は違ってきます。それはラスコーの洞窟壁画のような高度な作品を描く人類が突然現れた原因と同様かもしれません。あるいは、ブラックショールズ式を頼りにしたLTCMが破綻した原因になったような、正規分布に従わない（LTCMの場合はロシアの国際市場の閉鎖）現象が起きたのかもしれません。多分、IQ200などという人物が突然登場したなら、それはコインの表が40回も続けて出るように遺伝子の目が揃ったからではなく、何らかの突然変異があったと考えるべきでしょう。そしてそれは新人類と呼んでも良いのかもしれません。

（本記事は「ビジネスのための雑学知ったかぶり」を加筆、修正したものです。）

馬場 正博 （ばば　まさひろ）

経営コンサルティング会社 代表取締役、医療法人ジェネラルマネージャー。某大手外資メーカーでシステム信頼性設計や、製品技術戦略の策定、未来予測などを行った後、IT開発会社でITおよびビジネスコンサルティングを行い、独立。